第29章

赵天翔来了以后，在白板前站了四十分钟。

他把我的问题从头捋了一遍，指着一个关键的公式说：

“你要的不是一般的曲率估计，你要的是一个在递推结构和黎曼几何之间搭桥的工具。”

“对。”

“这个桥……我可能知道在哪。”

他拿起笔，开始在白板上画图。

不是写公式——是画图。

一个高维流形的截面，一条测地线，一系列沿着测地线分布的局部坐标卡。

“如果你不把递推结构建立在解空间上，而是建立在流形的测地线上呢？每一步递推对应一步测地线延伸，延伸的方向由曲率决定。”

我盯着那张图。

“你的意思是——把递推的步长和曲率绑定？”

“对。曲率越大，步长越短——这恰好对应你需要的更精细的局部估计。曲率趋于零的时候，步长增大，对应全局行为的逐步稳定。”

我的心跳骤然加速。

这个想法太美了。

递推结构和微分几何的融合——一个全新的框架。

“这不是我一个人能做的。”我说。

“所以你叫我来了。”

我们对视了一眼。

“合作？”

“合作。”

接下来的两个月，我和赵天翔每天都在研究室里工作到深夜。

他负责几何部分——流形上的技术估计、曲率控制、测地线的性质。

我负责分析部分——递推结构的构建、PDE的正则性论证、全局估计的收敛性。

苏晚再次担任后勤和翻译——帮我们查文献、校验计算、润色英文草稿。

三个人，像一台精密的机器。

十二月中旬，周国强做了手术。

手术很成功。

我在他术后醒来的第一时间去了病房。

“进展呢？”他醒来说的第一句话。

“五维和六维搞定了。一般维度还差最后一步——我们需要一个关于高维Sobolev空间中嵌入常数的精确估计。”

“多精确？”

“精确到与维度的依赖关系是多项式增长而不是指数增长。”

他闭了一下眼睛。

“看看Lieb和Loss的那本《分析学》，第四章有一个你需要的引理。”

我回去查了。

他说得对。

第四章第三节，Theorem  4.3，一个关于最佳常数的经典结果——精确到维度依赖关系。

最后一步。

一月六号，凌晨三点。

赵天翔把最后一行计算写完，放下笔。

我检验了每一步。

全部对。

一般维度的全局正则性估计——完成。

“搞定了。”赵天翔靠在椅子上，声音沙哑。

我看着白板上密密麻麻的推导——三面白板，全部写满。

“搞定了。”

我们坐在昏暗的研究室里，面前是一个即将改写PDE正则性理论的成果。

安静了很久。

然后赵天翔说：“饿了。”

“食堂关了。”

“校门外有一家烧烤摊，二十四小时的。”

“走。”

凌晨三点的烧烤摊上只有我们两个人。

烤串的烟雾升上去，消散在冬夜的空气中。

赵天翔咬了一口羊肉串。

“去年九月你背着蛇皮袋来报到的时候，我是真的看不起你。”

“我知道。”

“现在呢？”

“现在你应该请我吃烧烤。”

“你正在吃。”

“那就行了。”


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